cp-problems

約数の個数の最大化

解説

\(N\) 以下のすべての自然数の素因数の個数は，素因数分解で \(O(N\sqrt N)\) で求まります．

各自然数に対して，\(N\) と共通の素因数の個数は，\(N\) との最大公約数の素因数の個数を見れば判定できます．各自然数に対して，その約数の列挙も \(O(N\sqrt N)\) でできます．

なお，エラトステネスの篩を利用した \(O(N\log N)\) の解法があります．また，枝刈りでかなり高速化できます．

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int N, K;
    cin >> N >> K;
    vector<vector<int>> fact(N);
    vector<int> num(N, 1);
    for (int i = 1; i < N; i++) {
        for (int j = 1; j * j <= i; j++) {
            if (i % j) continue;
            fact[i].push_back(j);
            if (j * j != i) fact[i].push_back(i / j);
        }
    }
    num[1] = 0;
    for (int i = 2; i * i < N; i++) {
        if (num[i] != 1) continue;
        for (int j = 2; i * j < N; j++) num[i * j] = num[i] + num[j];
    }
    int max = 0, res = 0;
    for (int i = 1; i < N; i++) {
        if (num[__gcd(i, N)] >= K && fact[i].size() > max)
            res = i, max = fact[i].size();
    }
    cout << res << endl;
}